Падение плоских электромагнитных волн на границу раздела двух сред

В этом разделе рассматривается отдельный вид задач, возникающих при падении на границу раздела двух произвольных сред, плоских электромагнитных волн. В решении данных задач применяются граничные условия, рассмотренные в предыдущем разделе сайта.

Нормальное падение плоской электромагнитной волны на идеально проводящую плоскость

Подведем к анализу следующую идеализированную задачу. Пусть плоская электромагнитная волна падает по направлению нормали на идеально проводящую бесконечную плоскость и распространяется всплошную оси z декартовой системы координат, как изображено на рисунке ниже.

Из него видно, что наличие на поверхности реального металла лишь вектора интенсивности электрического поля падающей волны  

не может восполнить выполнение граничного условия . Чтобы предоставленное условие выполнялось, нужно допустить существование в полупространстве  отраженной волны, причём при  достоверно равенство .

Чтобы определить существующее на поверхности идеального металла суммарное магнитное поле, надлежит учесть, что вектор Пойнтинга отраженной волны сориентирован в отрицательном направлении вдоль оси z. От того, что модули векторов  и  между собой равны, модуль суммарного вектора

больше в два раза, чем модуль каждого из слагаемых. Тем самым выходит крайне значимый итог – суммарное магнитное поле удваивается на поверхности идеального проводника по сравнению с магнитным полем падающей волны:

Направления суммарного магнитного поля и знание величины дает возможность найти вектор плотности поверхностного тока по формуле

Из изображения выше видно, что протекает поверхностный ток в направлении вектора , а его амплитуда одинакова удвоенной амплитуде магнитного поля падающей волны.

Нормальное падение плоской электромагнитной волны на диэлектрическое полупространство

Допустим, что полупространство  декартовой системы координат (участок 1) представляет вакуум , в тот момент как полупространство  (участок 2) представляет собой произвольный диэлектрик с параметрами  (показано на изображении ниже).

Пусть в участке 1 распространяется плоская электромагнитная волна по направлению положительной оси z, эту волну далее будем называть падающей. С целью падающей волны заданы векторы  и , ориентированные так, как видно на изображении.

где  — постоянная распространения плоских волн в вакууме;

  — характеристическое сопротивление вакуума.

Само собой, разумеется, предположить, что в предоставленной системе кроме падающей имеются ещё две волны: отраженная волна – векторы, что имеют вид

где знак вектора  определен тем, что вектор Пойнтинга отраженной волны  сориентирован в сторону отрицательной оси z и прошедшая (преломленная) волна, характеризуемая векторами

Здесь .  — соответственно постоянная распространения и характеристическое сопротивление среды 2.

Предполагается при записи формулы

что, с одной стороны, участок 2 не ограничен по оси z, а с другой, что имеется хотя бы малое, при распространении в данной среде электромагнитных волн конечное затухание. Эти предположения предоставляют отсутствие отраженных волн в участке 2 проходящих по направлению отрицательной оси z. Надобно найти соотношения между амплитудами векторов электромагнитного поля прошедшей, отраженной и падающей волн. В этом нужно учесть, что на границе раздела, то есть в плоскости  должны выполняться граничные условия непрерывности тангенциальных составляющих суммарных векторов магнитного и электрического полей:

Основываясь на выше изложенных формулах соотношение

запишется

Введем по электрическому полю  коэффициент отражения и по электрическому полю  коэффициент прохождения согласно соотношениям:

Разделяя в

правые и левые части равенств на амплитуду электрического поля падающей волны  обретаем систему двух линейных алгебраических уравнений относительно  и :

откуда

Коэффициенты прохождения и отражения для диэлектрического полупространства, таким образом, целиком определяются характеристическими сопротивлениями граничащих сред. Крайне занимательно отметить, что формулы вида

встречаются в тенденции теоретической радиотехники в рассмотрении отражения волн от стыка двух линий с распределёнными постоянными, располагающими волновыми сопротивлениями  и . Отметим что, вторая линия нагружена на некоторый импеданс, одинаковый собственному волновому сопротивлению. Это предоставляет «собрать» эквивалентную схему анализируемой электродинамической задачи, изображенную ниже

Здесь, как следственный результат, следует потенциал решения задач о нормальном распространении плоских электромагнитных волн в системе диэлектрических слоев путем образования эквивалентных схем, а также, последующего применения круговой диаграммы. Необходимо только учитывать, что в материальной среде длина волны сокращается в  раз.