Комплексные амплитуды полей

По четырем независимым переменным – х, у, z, t в систему уравнений Максвелла входят частные производные. Крайне целесообразно в упрощении решения было бы «опустить» одну из этих переменных. Если же рассматриваемый электромагнитный процесс приходится монохроматическим, то такая операция оказывается в действительности возможной, то есть изменение полей по времени изображается гармоническими колебаниями с некоторой частотой . Знание поведения поля на всех частотах, даёт возможность воссоздать любой закон изменения во времени, применив метод интеграла Фурье.

Вектор какого-либо поля в общем случае, например, изменяющегося во времени поля E по гармоническому закону в кое-какой точке пространства записывается в виде

Где – амплитуды отдельных составляющих поля, – их фазовые углы.

Вещественными, приходятся перечисленные все шесть величин. Представляемого выше указанной формулой конец вектора Е, с проходом времени, описывает замкнутую кривую в пространстве. Представленная кривая является эллипсом. Величина эксцентриситета и положение плоскости эллипса определяются как фазами отдельных составляющих, так и амплитудами.

Запись, эквивалентная изложенной формулы, располагает видом

Комплексный вектор вида, как правило, называется комплексной амплитудой поля Е

В теоретической электротехнике уже давно нашел широкое применение метод комплексных амплитуд. Тем не менее, необходимо устремить внимание на то очень существенное различие между тем методом комплексных амплитуд, который находит использование в электродинамике и тем который применяется в теории цепей. Всё дело обстоит в том, что комплексные амплитуды полей в электродинамических задачах постоянно выступают как трехмерные пространственные векторы. Отчего и является принципиально невозможным изображение их на чертежах в виде отдельных вспомогательных векторов, вращающихся на комплексной плоскости. Стоящие при комплексных амплитудах экспоненциальные множители, с мнимыми показателями, определяют только фазовые соотношения между величинами.

К примеру, если же заданы комплексные амплитуды двух полей

то это объясняется не тем, что в пространстве эти два поля образуют угол 90°, (ориентация полей в пространстве схожа и задастся единичным сектором ) а тем, что при изменении во времени поле отстаёт от поля на величину, равную четверти периода. Следующим образом через комплексные амплитуды определяются мгновенные значения электромагнитных полей:

В уравнения Максвелла комплексные амплитуды могут быть с лёгкостью введены. Подставим в первое уравнение Максвелла подобающие поля, сформулированные через их комплексные амплитуды:

что всегда допустимо, изменяя порядок следования операции взятия вещественной части и дифференциальных операций, далее, сокращая на общий множитель , получаем . Тем самым переход к комплексным амплитудам полей происходит по правилам, что и в электротехнике, - действующий на мгновенное значение поля оператор дифференцирования по времени, заменяется на множитель .

Остальные уравнения Максвелла преобразуются совершенно аналогично. Ниже приведена их конечная сводка:

Комплексная диэлектрическая проницаемость. Угол диэлектрических потерь

Воспользовавшись материальным уравнением, то может быть записано в виде

первое уравнение Максвелла, где имеет название комплексной диэлектрической проницаемости данного вещества. Включение комплексной диэлектрической проницаемости предоставляет возможность с лёгкостью учитывать, как проводящие, так и диэлектрические свойства данного вещества.

Об интенсивности процесса поляризации говорит значение вещественной части , на тот момент как плотность токов проводимости характеризует мнимая часть. Соотношение между мнимой и вещественной частями можно охарактеризовать с помощью угла , носящего название угла диэлектрических потерь изображая число на комплексной плоскости.

Чем угол больше, тем сравнительно рассеивается большая часть электромагнитной энергии во время протекании токов проводимости в виде тепла. Тангенс угла нередко используют в практике: . В пределах , лежит тангенс угла потерь хороших диэлектриков на СВЧ, если же , то диэлектрик, как правило, считается плохим.