Новости партнёров:


Теорема Пойнтинга

Энергетические соотношения в электромагнитном поле. Теорема Пойнтинга

Наряду основных свойств электромагнитного поля стоит его энергия. Этот вопрос впервые был проанализирован Максвеллом, который выявил, что вся энергия поля, заключённого внутри объема V, сформировывается из энергии электрического поля


и энергии магнитного поля


Подынтегральные выражения в выше изложенных формулах могут рассматриваться, таким образом, как плотности энергии электрического поля


и магнитного поля


Также из их определений нередко вытекают в электротехнике известные формулы для запасенной в конденсаторе энергии:


и в катушке индуктивности


Вообще говоря, энергия электромагнитного поля, заключённого внутри объема V, не может быть постоянной.

Следует отнести к числу факторов, ниже описанные явления, которые определяют изменение во времени энергии поля:

  • обращение части энергии электромагнитного поля в энергию других типов, к примеру, в механическую энергию, связанную с тепловым движением частиц вещества, определённым протеканием токов проводимости;

  • действия других источников, которые могут как уменьшать запас энергии поля, так и увеличивать его в зависимости от заданных условий;

  • передача энергии между выделенным объемом, а также окружающими его областями пространства за счёт характерного процесса, свойственного электромагнитному полю и обладающему названием процесса излучения.

В электродинамике, как правило, принято характеризовать интенсивность процесса излучения, обусловливая особую векторную величину в каждой точке пространства, имеющую название вектора Пойнтинга П.

Смысл вектора Пойнтинга в физике заключается в том, что его направление и модуль характеризуют размер и направленность в каждой точке пространства потока энергии излучения. Вектор Пойнтинга в системе единиц СИ имеет размерность


то есть,


При этом безукоризненный спад энергии, заключенного внутри воображаемого объема V с поверхностью S электромагнитного поля, определенный излучением и отнесенный к единице времени, равна


В основе изложенного крайний интеграл должен быть рассмотрен как величина мгновенной мощности излучения, проистекающего по направлению из анализируемого объема в окружающее пространство. Если же знак представленного интеграла отрицателен, то это объясняется тем, что поток энергии излучения устремлён не из объема V, а внутрь него. Согласующиеся как с уравнениями Максвелла, так и с законом сохранения энергии, физически правильные результаты выявляются в том случае, если вектор Пойнтинга выразить через мгновенные значения полей

и

следующим образом:


В самом деле, по теореме Остроградского – Гаусса для рассматриваемой замкнутой поверхности S будем иметь


Здесь было использовано известное тождество векторного анализа


С учётом уравнений Максвелла



приобретает следующий вид


Интеграл вида


может быть именуем мгновенной мощностью потерь, будучи внутри объема V за счёт протекания токов проводимости. Иное слагаемое

 

обуславливает мгновенную мощность, которая может либо отводиться из рассматриваемого объема сторонними токами, либо вноситься в него в зависимости от взаимной ориентации векторов JCT и Е. Можно сказать, используя электротехнические термины, что источники стороннего тока могут выступать как в образе нагрузок, так и в образе генераторов. Однако если допустить, что в соответствии с материальными уравнениями между векторами поля существует линейная связь


то крайний интеграл в правой части формулы


обретёт вид


Тут мы приходим на основании вышеизложенного к интегральному соотношению вида


приходящемуся математическим выражением теоремы Пойнтинга. Данная теорема определяет внутри произвольной области, в которой есть электромагнитное поле, факт баланса энергий. Вектор Пойнтинга для значимого в практическом отношении частного случая, в котором поле по гармоническому закону изменяется во времени, может быть выявлен через комплексные амплитуды полей Е и Н, поскольку


где  - комплексно-сопряжённые величины,

подставив их в формулу

 

получим


Слагаемое первое, в части формулы справа, во времени неизменно, в отличие от второго слагаемого, которое изменяется во времени с удвоенной частотой.

Тем самым в электромагнитном поле, изменяющемся во времени по гармоническому закону, ход переноса энергии характеризуется, с одной стороны вещественным вектором, равным средней за период плотности мощности излучении,


и вещественным вектором, который указывает на присутствие колеблющейся составляющей вектора Пойнтинга


Необходимо не упускать из виду то, что среднее за период значение вектора  равно нулю.

На основе уравнений Максвелла теоретическое рассмотрение и физический опыт позволяют утверждать, что термин «излучение» в узком смысле слова применим лишь к переменным во времени процессам в силу волнового характера распространения электромагнитного поля. С процессом переноса от источника электромагнитной энергии, к примеру, антенны, к любым другим (неважно к скольким) удаленным точкам пространства ассоциация вектора Пойнтинга верна не всегда. Однако правильно описать процесс в системах с неизменными во времени полями передачи электромагнитной энергии нам позволяет введенный вектор Пойнтинга.

В силу примера ниже изображен эскиз двухпроводной линии передачи, в которой от источника постоянной э.д.с. передается энергия к резистивной нагрузке. Также мы можем видеть изображенный характер силовых линий полей Е и Н. Далее из рисунка следует, что построен может быть в каждой точке пространства отличный от нуля вектор Пойнтинга П, ориентированный вдоль оси линии от генератора к нагрузке.

 

Если же по поперечной плоскости в бесконечных пределах проинтегрировать вектор Пойнтинга, то в конечном итоге будет получена величина переносимой мощности, выражаемая как произведение напряжения на нагрузке и протекающего тока в электротехнических терминах.

Заключение возможно будет казаться несколько неожиданным: энергия в данной системе с точки зрения электродинамики переносится не токами, протекающими в проводниках, а в окружающем пространстве электромагнитным полем. Наличие токов и проводников выступает в них как необходимое условие существования полей нужной конфигурации.

Рассмотрим с целью другого интересного примера систему, состоящую из заряженного конденсатора и постоянного магнита, сориентированных сравнительно друг друга так, как показано на изображении:


Поля Е и Н тут не параллельны друг другу, это позволит ввести отличный от нуля вектор Пойнтинга П=[ЕН] в каждой точке пространства. От того, что рассматриваемые поля статические и токи проводимости не протекают в системе, в соответствии с уравнениями Максвелла


Откуда

 

Тем самым в предоставленной физической задаче векторное поле П не обладает источниками; его поток через любую замкнутую поверхность равен нулю, это говорит о постоянстве полной энергии электромагнитного поля во времени, внутри произвольной замкнутой поверхности.

В конце надлежит указать, что иногда вводится комплексный вектор Пойнтинга


при анализе гармонически изменяющихся во времени электромагнитных волновых полей обладающий тем свойством, что


Видна аналогия между мощностью гармонического колебательного процесса известной из электротехники и комплексным вектором Пойнтинга. Как правило, мнимый вектор Пойнтинга обычно связывают с реактивной энергией электромагнитного поля.


electrokiber.ru © Все права защищены. При копировании материалов ссылка на сайт обязательна

Rambler's Top100
Работает на бесплатной Amiro CMS