Уравнения Гельмгольца. Волновой характер электромагнитного поля

Из результатов, выявленных Максвеллом, одним из главных предстало доказательство волновой природы электромагнитного поля. Как мы знаем, изменение электрического поля во времени приводит к появлению магнитного поля однородного в пространстве, и также наоборот. Здесь процесс походит на физическую картину обмена энергией между магнитным и электрическим полем в типичном колебательном контуре.

Следовательно, от этого ожидается, что в самом общем случае электромагнитный процесс представляет собой также некоторые колебания. Здесь принципиальная разница несёт в себе то, что одновременно во всех точках пространства должны рассматриваться колебания электромагнитного поля. Волновым процессом в физике принято называть колебательное движение непрерывной среды. Математически докажем волновой характер электромагнитного поля объединив уравнения Максвелла с другими уравнениями, конечно же которые описывают волновой процесс.

Проведем анализ электромагнитного поля в отдельной области пространства, там, где отсутствует плотность зарядов, то есть . Также предполагается равной нулю плотность сторонних электрических токов.

Из системы уравнений Максвелла выпишем первые два вот в таком виде:

Для приведения этих уравнений к одному применим операцию rot к правой и левой частям второго уравнения и после через первое уравнение сформулируем полученную правую часть:

В этом месте  – при общем случае число комплексное, являющееся, постоянной распространения электромагнитной волны. Для величины  можно встретить также в литературе наименования волновое число или фазовая постоянная. Следующую реорганизацию формулы

можно реализовать, если же применить известное нам тождество векторного анализа:

Здесь «набла квадрат»  - второго порядка векторный дифференциальный оператор, конкретная форма которого определяется целиком той координатной системой, в которой ведется вычисления. Действие оператора  в декартовой координатной системе сводится к тому, что используется оператор Ланласа к каждой из проекций векторного поля

Если же использовать закон Гаусса, который обеспечивает  в соответствии с принятым условием  тогда уравнение

возможно будет изложить в последующем крайне изящном виде:

Применяя симметрию уравнений Максвелла, безусловно, аналогично также получаем уравнение сравнительно векторного поля Н;

В математической физике уравнения

и

имеют название уравнений Гельмгольца от имени немецкого выдающегося физика Г. Гельмгольца. Со стороны математики, возможно, показать, что данные уравнения описывают стационарные волновые процессы, то есть распространение волн в пространстве с отдельной хронической частотой. Тем самым принято фундаментальное заключение теории Максвелла – переменность магнитных или электрических полей во времени неминуемо ведёт к распространению электромагнитных волн в пространстве. Уравнение Гельмгольца в координатной форме, к примеру

излагается надлежащим образом:

или

Решение системы показанной выше существенно упрощается тогда, когда поле не располагает какими-либо составляющими, к примеру

а так же на ту пору когда поле всегда в каких-либо плоскостях, пример этому